🔑 名詞卡
SVD（Singular Value Decomposition，奇異值分解）
🎯 定義
一種可應用於任意實數矩陣（不需為方陣）的矩陣分解方法，將矩陣 \(X\in\mathbb{R}^{m\times n}\) 拆解為 \(X=U\Sigma V^\top\)。
重點／應用
- \(U\)：左奇異向量矩陣（樣本方向）；\(\Sigma\)：奇異值對角矩陣（各主方向重要性）；\(V\)：右奇異向量矩陣（特徵方向）。
- 應用：資料降維（保留前 k 個奇異值近似原資料，用於 PCA 計算）、推薦系統（分解使用者-項目矩陣）、潛在語意分析（LSA）、影像壓縮。
記憶技巧
「SVD 不挑矩陣形狀，特徵值分解只挑對稱方陣」——這是兩者最大的適用範圍差異。
易混淆
- vs 特徵值分解：特徵值分解僅適用對稱方陣；SVD 可用於任意矩陣，應用範圍更廣。
📖 課文原文「奇異值分解是一種可應用於任意實數矩陣（不需為方陣）的分解方法⋯SVD 將原始矩陣轉換為不同空間基底的縮放與旋轉操作，具有極佳的數值穩定性與資訊解構能力。」