🔑 名詞卡
線性變換（Linear Transformation）
🎯 定義
在不破壞空間線性結構的前提下，對資料進行伸縮、旋轉或投影等操作的數學運算，本質是向量被矩陣左乘：\(Ax \in \mathbb{R}^k\)。
重點／應用
| 幾何意涵 | 說明 |
|---|---|
| 縮放 | 調整長度，不改方向 |
| 旋轉 | 改變方向，不改長度 |
| 剪切 | 使方向產生傾斜 |
| 投影 | 投射到子空間，保留最有意義的資訊 |
出現於：線性/邏輯迴歸（\(y=w^\top x+b\)）、神經網路前向傳播（\(z^{(l)}=W^{(l)}a^{(l-1)}+b^{(l)}\)）、Embedding 層、PCA/LDA 等降維方法。
記憶技巧
神經網路每一層 = 「線性變換 + 非線性激活」的組合，是深度學習最基本的運算單元。
易混淆
- vs 矩陣分解：線性變換是「對資料做一次映射操作」；矩陣分解是「把矩陣拆解成結構化的子矩陣」，兩者概念層次不同。
📖 課文原文「線性變換（Linear Transformation）是線性代數中的核心概念，其本質是在不破壞空間線性結構的前提下，對資料進行伸縮、旋轉或投影等操作。」