🔑 名詞卡
二項分佈（Binomial Distribution）
🎯 定義
描述在固定次數 n 的獨立試驗中，每次試驗成功機率為 p，記錄成功次數 X 的離散型機率分佈。
公式
\[P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\ k=0,1,\dots,n \qquad E(X)=np \qquad Var(X)=np(1-p)\]
重點／應用
- 是伯努利分佈（單次試驗）在 n 次獨立重複試驗下的延伸——伯努利分佈是二項分佈在 n=1 時的特例。
- 應用示例：投放 n 則廣告觀察成功（點擊/購買）次數、檢驗 n 個產品中合格品數量。
- 侷限：試驗須獨立，且成功機率 p 固定，若促銷活動等因素改變成功率，二項分佈可能失效，需改用動態模型。
記憶技巧
變異數比期望值多乘一項 \((1-p)\)：\(E(X)=np\)、\(Var(X)=np(1-p)\)，容易漏乘。
易混淆
- vs 泊松分佈：二項分佈需要明確的試驗次數 n 與成功機率 p；泊松分佈則用於「固定時間/空間區間內事件發生次數」，不需明確的試驗次數，只需平均發生率 λ。當 n 很大、p 很小時，二項分佈可用泊松分佈近似。
📖 課文原文「二項分佈描述的是在固定次數 n 的獨立試驗中，每次試驗成功的機率為 p，並記錄成功的次數 X……侷限：試驗必須是獨立的，且成功機率 p 固定，若任一條件不滿足，則不適用。」