🔑 名詞卡

期望值（Expected Value, E(X)）

🎯 定義

隨機變數的加權平均值，描述該隨機變數在多次試驗中可能出現的平均結果，代表隨機變數的長期平均或中心位置，有時被稱為「數學期望」。

公式

\[E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i) \quad \text{（離散型）} \qquad E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx \quad \text{（連續型）}\]

是機率分佈兩個最重要的數值之一（另一個是變異數 Variance）。
各常見分佈的期望值：伯努利 \(E(X)=p\)；二項分佈 \(E(X)=np\)；泊松分佈 \(E(X)=\lambda\)；常態分佈 \(E(X)=\mu\)。

期望值就是「加權平均」——把每個可能結果乘上其發生機率再加總，回答「長期玩下去平均會是多少」。

📖 課文原文
「期望值是一個隨機變數的加權平均值，它描述的是該隨機變數在多次試驗中可能出現的平均結果。期望值在統計學中有時被稱為『數學期望』，代表了隨機變數的長期平均或中心位置。」