CH3.3 假設檢定與統計推論

1. 統計推論總覽

統計推論（Statistical Inference）是以樣本資料為基礎，對整體母體特徵進行科學性推估的程序，是機器學習與大數據分析背後的邏輯支柱。可概略分為兩大核心分支：

(1) 參數估計：點估計與區間估計

• 點估計（Point Estimation）：以樣本資料計算出一個單一數值，作為對母體參數的最佳估計（如樣本平均數估計母體平均數），但無法反映估計的不確定性。
• 區間估計（Interval Estimation）：提供一個數值範圍表示信心程度，稱為信賴區間（Confidence Interval）。

2. 假設檢定的完整流程

假設檢定（Hypothesis Testing）用於檢視樣本資料是否提供足夠證據，足以拒絕原先的假設。強調的是「證據是否足夠」，而非直接斷定假設真偽。完整流程：

`` A. 設定虛無假設 H0 與對立假設 H1 ↓ B. 選擇適當的檢定方法與檢定統計量 ↓ C. 決定顯著水準 α ↓ D. 計算檢定統計量與 p 值 ↓ E. 比較 p 值與 α，作出結論 ``

(1) 虛無假設與對立假設

(2) 顯著水準（α）

事前設定的可接受錯誤機率上限，代表 H0 為真時仍可能因樣本隨機波動而錯誤拒絕該假設的機率，也就是型一錯誤發生的上限。

在多重比較或大數據情境下，若重複進行多次統計檢定而未調整，會大幅提升整體犯型一錯誤的風險，常見做法是採用 Bonferroni 校正法控制整體錯誤率。

(3) 檢定統計量與 p 值

檢定統計量衡量觀察結果與虛無假設預期結果之間的差異程度（t 檢定用 t 值、卡方檢定用卡方值、ANOVA 用 F 值）。p值 是指在虛無假設為真的情況下，觀察到與實際樣本結果相同或更極端的資料出現的機率——p 值越小，越支持拒絕虛無假設。

(4) 作出結論

3. 型一錯誤與型二錯誤

• 型一錯誤（Type I Error）：H0 實際為真卻錯誤拒絕，即「把沒有差異誤判為有差異」，機率由 α 控制。
• 型二錯誤（Type II Error）：H1 實際為真卻未能拒絕 H0，即「有差異卻誤以為沒差異」，機率為 β，與檢定力（Power = 1−β）有關；樣本數不足、變異數過大或效應太小，都會使檢定力降低、型二錯誤風險上升。

4. 檢定方法總表

依「資料型態、研究設計、分析目的」選擇合適的統計檢定方法：

(1) 平均數的差異檢定

單樣本 t 檢定（One-sample t-test）：檢驗「樣本平均數是否與某已知值 μ₀ 存在顯著差異」，適用於母體標準差未知、樣本數較小（n<30）時。H0：μ=μ₀。

獨立樣本 t 檢定（Independent-samples t-test）：比較兩組互相獨立樣本的平均數是否有顯著差異，前提需檢查母體變異數是否相等（可用 Levene's test，若不等應採 Welch's t 檢定）。H0：μ₁=μ₂。

配對樣本 t 檢定（Paired-samples t-test）：比較同一個體在兩種情況下的平均差異，核心在於「差值」μd 的統計推論。H0：μd=0。

單因子變異數分析（One-way ANOVA）：比較三組以上獨立樣本平均數是否有顯著差異，延伸自 t 檢定。H0：μ1=μ2=…=μk（所有群組平均數相同）。

三種 t 檢定的方向性判斷（以單樣本為例，獨立樣本與配對樣本邏輯相同）：

(2) 比例或類別變數的比較

單樣本比例檢定：檢驗樣本中事件發生比例是否與預期比例 p₀ 有顯著差異，常態近似需滿足 \(n\times p_0 \ge 5\) 且 \(n\times(1-p_0)\ge 5\)，否則應改用精確二項檢定。H0：p=p₀。

雙樣本比例檢定：比較兩獨立樣本間事件發生比例是否有顯著差異，如 A/B 測試比較點擊率。H0：p1=p2。

卡方檢定（Chi-square test）：用於分析類別資料是否呈現某種統計關係，分兩種主要形式：

(3) 相關性分析

皮爾森相關係數 r 介於 −1 與 +1 之間：正相關（r>0）、負相關（r<0）、無相關（r≈0）。H0：ρ=0（無線性相關）。

(4) 非參數檢定

當資料不符合常態分佈、含極端值或為順序資料時，可用非參數方法取代 t 檢定/ANOVA：

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